Наименьшее общее кратное, d наибольший общий делитель натуральных чисел х и у, удовлетворяющих условию 7x=16y-73. Какое наименьшее значение может принимать выражение q деленное на d?

Т. к. d=НОД (x, y), то x=du, y=dv, где u, v - уже взаимно простые натуральные числа. Тогда q=duv, и значит, q/d=uv. То есть нам надо минимизировать uv.

По условию: 16dv-7du=73. Выносим d за скобки:

d (16v-7u) = 73, т. е d - делитель числа 73, откуда возможно только d=1 или d=73 (т. к. 73 - простое).

1) Если d=1, то 16v-7u=73. Все натуральные решения этого уравнения задаются формулами u=1+16k, v=5+7k, k=0,1,2, ...

Минимум uv достигается при k=0, т. е. uv=5. При этом x=u=1, y=v=5.

2) Если d=73, то 16v-7u=1. Все натуральные решения этого уравнения задаются формулами u=9+16k, v=4+7k, k=0,1,2, ...

Минимум uv достигается при k=0, т. е. uv=4*9=36. При этом x=73*9, y=73*4.

Т. к. 5<36, то минимум q/d равен 5 и достигается при x=1, y=5.