В правильной треугольной пирамиде сторона основания рана 8 см, а плоский угол при вершине равен 90 градусов. Найдите высоту и апофему этой пирамиды.

Дано:

- треугольная пирамида,

- сторона основания а = 8 см,

- угол при вершине боковой грани α = 90°.

Рассмотрим боковую грань.

Это равнобедренный прямоугольный треугольник с основанием а = 8 см и боковыми сторонами L. Острые углы равны 45 градусов.

Высота этого треугольника - апофема А.

Апофема А равна половине основания: А = 8/2 = 4 см.

Боковое ребро L = 4√2 см.

Проведём осевое сечение через боковое ребро.

Получим треугольник, высота Н которого равна высоте пирамиды.

Одна боковая сторона равна боковому ребру пирамиды, вторая - апофема.

Проекция апофемы на основания для правильной пирамиды равна (1/3) высоты h основания пирамиды.

h = a√3/2 = 8√3/2 = 4√3 см.

Теперь можно определить высоту пирамиды.

H = √ (A² - (h/3) ²) = √ (16 - (48/9)) = √ (96/9) = 4√6/3 см.