Через середину гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведена прямая, пересекающая катет AC в точке D, а продолжение катета BC в точке F. Известно, что AD=2, BF=3 и AC=2BC. Найти стороны треугольника ABC.

Question

Геометрия

Салтан

1 августа, 16:11

Через середину гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведена прямая, пересекающая катет AC в точке D, а продолжение катета BC в точке F. Известно, что AD=2, BF=3 и AC=2BC. Найти стороны треугольника ABC.

+5

Ответы (1)

Знаете ответ на вопрос?

Ярославка · Answer 1

Пусть K - середина гипотенузы AB. Обозначим AK=KB=x,
tg α=AC/BC=2BC/BC=2

tg α=AD/PD, PD=AD/tg α=2/2=1

AP=√ (AD²+PD²) = √4+1=√5

Треугольник KPD подобен треугольнику KBF с коэффициентом PD/BF=1/3.

Поэтому PK/BK=1/3.

PK=KB - (AB-AP) = x-2x+√5=√5-x

(√5-x) / x=1/3

3 (√5-x) = x

4x=3√5

x=3√5/4

AB=2x=3√5/2.

Треугольник APD подобен треугольнику ABC с коэффициентомAP/AB=√5*2/3√5=2/3

AD/AC=2/3, AC=3AD/2=3*2/2=3

PD/BC=2/3, BC=3PD/2=3*1/2=3/2=1.5