Определить экстремальные точки и точки перегиба кривых и построить кривые:

1) Y = ((X^3) / 6) - x^2

2) Y=e^ (-x^2)

3) Y = (2x) / (1+x^2)

4) Y=2^ (1/x)

1) y = (x^3/6) - x^2

y ' (x) = (3x^2/6) - 2x = (x^2/2) - 2x

(x^2/2) - 2x=0

x^2-4x=0

x (x-4) = 0

Находим критические точки

x=0 и x=4

Находим вторую производную

y '' (x) = x-2

Определяем знак второй производной в критической точке

f'' 0) <0

f'' (4) >0

Следовательно, x=0 - точка максимума

x=4 - точка минимума

Находим точку перегиба

f'' (x) = 0

x-2=0

x=2 - критическая точка второго рода

Точка с абсциссой x=2 есть точка перегиба

Находим ординату перегиба

y (2) = 8/6-4=-8/3

Таким образом точка (2; - 8/3) - точка перегиба

Функция возрастает от - бесконечности до 0 и от 4 до + бесконечности

Функция убывает от 0 до 4

2) y=e^ (-x^2)

y ' = - 2x*e^ (-x^2)

Находим критические точки

-2x*e^ (-x^2) = 0

x=0

Находим вторую производную

y '' (x) = - 2*e^ (-x^2) + 4x^2*e^ (-x^2) = e (-x^2) * (-2+4x^2)

Определяем знак второй производной в критической точке

y'' (0) = - 2

Следовательно, x=0 - точка максимума

Находим точку перегиба

f'' (x) = 0

e (-x^2) * (-2+4x^2) = 0

(-2+4x^2) = 0

4x^2=2

x^2=1/2

x=±sqrt (1/2) - критические точки второго порядка

точки с абсциссами x=sqrt (1/2) и - sqrt (1/2) - точки перегиба выпуклостью вниз

Находим ординаты перегиба

y (-sqrt (1/2) = e^ (1/2)

y (-sqrt (1/2) = e^ (-1/2)

y (2) = 8/6-4=-8/3

Функция y (x) >=

Функция возрастает от - бесконечности до нуля и убывает от 0 до + бесконечности

3) y = (2x) / (1+x^2)

y ' (x) = 2x / (1+x^2) - 4x^2 / (1+x^2) ^2

Находим критические точки

2x / (1+x^2) - 4x^2 / (1+x^2) ^2

2x (1+x^2) - 4x^2=0

x=0

x=0 - критическая точка

Находим вторую производную

y'' (x) = - 12x / (1+x^2) ^2+16*x^3 / (1+x^2) ^3

Определяем знак второй производной в критической точке

y'' (0) <0

Следовательно, x=0 - точка максимума

Находим точку перегиба

f'' (x) = 0

-12x / (1+x^2) ^2+16*x^3 / (1+x^2) ^3=0

-12x-12x^3+16x^3=0

x=0 - точка перегиба выпуклостью вверх

x=-sqrt (3) - точка перегиба выпуклостью вниз

x=sqrt (3) - точка перегиба выпуклостью вниз

Функция спадает от - бесконечности до - sqrt (3) и jn 0 до sqrt (3) и на остальных промежутках возрастает

4) y=2^ (1/x)

y' (x) = - 2^ (1/x) * ln (2) / x^2

точка x=0 - точка разрыва

функция убывает от - бесконечности до нуля и от 0 до + бесконечности

точки перегиба можно определить как в предыдущих заданиях