Даны координаты вершины треугольника А (х1; у1), В (х2; у2), С (х3; у3). Найти:

длину стороны АВ;

уравнения сторон треугольника;

внутренний угол при вершине А;

уравнение высоты проведенной через вершину С;

уравнение медианы проведенной через вершину В;

точку пересечения высот;

площадь треугольника АВС.

А (-4; 2) В (0; -1) С (3; 3)

|AB|=√ ((0 - (-4)) ^2 + (-1-2) ^2=√16+9=√25=5

уравнение AB:

x+4/4=y-2/-3

-3 (x+4) = 4 (y-2)

-3x-12=4y-8

3x+12+4y-8=0

3x+4y+4=0

BC:

x/3=y+1/4

4x=3 (y+1)

4x=3y+3

4x-3y-3=0

AC:

x+4/7=y-2/1

x+4=7y-14

x-7y+4+14=0

x-7y+18=0

Внутренний угол при вершине A:

AB (4; -3)

AC (7; 1)

|AC|=√49+1=√50=5√2

cos (AB^AC) = 28-3/5*5√2=25/25√2=1/√2=45 градусов

Чтобы найти уравнение высоты, проведенный через вершину С, надо найти середину отрезка AB. Высоту обозначим CH.

Отсюда видим, что H - середина отрезка AB:

xh=-4+2/2=-2/2=-1

yh=2-1/2=1/2=0.5

⇒H (-1; 0.5)

Находим уравнение высоты CH:

C (3; 3)

H (-1; 0.5)

x-3/-1-3=y-3/0.5-3

x-3/-4=y-3/-2.5

-2.5 (x-3) = - 4 (y-3)

-2.5x+7.5=-4y+12

2.5x+4y+12-7.5=0

2.5x+4y+4.5=0

Для медианы находим середину отрезка AC:

Медиана BM:

xm=-4+3/2=-1/2=-0.5

ym=2+3/2=5/2=2.5

⇒M (-0.5; 2.5)

B (0; -1)

Находим уравнение медианы BM:

x+0.5/0.5=y-2.5/-3.5

-3.5 (x+0.5) = 0.5 (y-2.5)

-3.5x-1.75=0.5y-12.5

3.5x+0.5y+1.75-12.5=0

3.5x+0.5y-10.75=0

Чтобы найти точку пересечения высот надо найти либо середину медианы BM, либо середину высоты CH:

Я найду середину CH:

C (3; 3)

H (-1; 0.5)

Пусть точка N (xn; yn) - середина CH, тогда:

xn=3-1/2=2/2=1

yn=3+0.5/2=3.5/2=1.75

N (1; 1.75)

S=1/2AB*AC

S=5*5√2/2=25/2/2=12.5√2 ед^2