Два бегуна стартовали одновременно из одной точки. Сначала они бежали по улице до стадиона, а потом до финиша-три круга по стадиону. Всю дистанцию они бежали с постоянными скоростями и в ходе забега 1-ый бегун дважды обогнал второго. Докажите, что первый бежал по крайней мере вдвое быстрее, чем второй

Если обозначить скорость быстрого 'V_б', скорость медленного 'V_м', время с момента вбегания медленного на стадион до финиша быстрого (т. е. окончания гонки) - 't', тогда из условия, что к моменту вбегания медленного бегуна на стадион, быстрому должно остаться до финиша не менее двух кругов получаем 'V_б*t>=2S_2'. (1)

За время 't' медленный должен отстать от быстрого не менее, чем на 'S_2' и еще на 'S_2-x', т. е. 'V_м*t<=V_б*t-2S_2+x', еще учтем, что, 'V_б*t=3S_2-x'.

Получаем 'V_м*t<=3S_2-x-2S_2+x=S_2'

Если 'V_б<2V_м', то 'V_б*t<2S_2', что противоречит (1)