1) найти экстремум функции z=xy при условии x+y=1

2) найти наибольшее и наименьшее значение функции z=^2-2xy-y^2+4x+1 в областе:

x+y-10=0

y=0

x=5

Решение. Область представляет собой часть параболы, лежащую ниже оси ОХ, точки пересечения с осью М1 (-1,0) и М2 (1,0). Найдём критические точки: ∂z/∂x=2x-y; ∂z/∂y=x; 2x-y=0; x=0 : y=0; М0 (0,0) - критическая точка, лежащая внутри области. Найдём критические точки на границе области.

Если y=4x²-4 : z=x²+x (4x ²-4) - 2=x²+4x³+4x-2; z '=2x+12x²-4; 2x+12x²-4=0; 6x²+x-2=0; x1=-2/3; x2=0,5, соответствующие точки М3 (-2/3, 20/9), М4 (0,5,-3), пусть теперь у=0 (ось ОХ) : z=-2, здесь критических точек нет. Теперь найдём значения z во всех указанных точках и выберем наибольшее и наименьшее : z (M0) = z (0,0) = - 2;

z (M1) = z (-1,0) = - 1; z (M2) = z (1,0) = - 1;

z (M3) = z (-2/3, 20/9) = - 82/27≈-3,037;

z (M4) = z (0,5; - 3) = - 13/4≈-3,25; Ответ: zнаим. = z (0,5; - 3) = - 3,25; zнаиб. = z (-1,0) = z (1,0) = - 1