Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство y = x^2-4x+a (меньше либо равно) 10 выполняется для всех x [ a, a.+5]

x^2 - 4x + a ≤ 10; x € [a; a+5]

x^2 - 4x + (a-10) ≤ 0

D/4 = (4/2) ^2 - 1 (a-10) = 4 - (a-10) = 14 - a

Если решением неравенства является промежуток, то D/4 > 0.

Отсюда а < 14.

x1 = 2 - √ (14-a) ≤ a

x2 = 2 + √ (14-a) ≥ a+5

Тогда решение неравенства

x € [x1; x2] содержит промежуток [a; a+5]

Рeшаем эти неравенства

1) √ (14-a) ≥ 2 - a

Для a ≤ 2 это неравенство выполнчется при любых а.

Для a € (2; 14] возводим в квадрат.

14 - a ≥ a^2 - 4a + 4

a^2 - 3a - 10 ≤ 0

(a-5) (a+2) ≤ 0

a1 = - 2 < 2, не подходит;

a2 = 5 > 2, подходит

a € (-oo; 5]

2) √ (14-a) ≥ a+3

Для a ≤ - 3 это неравенство выполнено при любом а.

Для a € (-3; 14] возводим в квадрат.

14 - a ≥ a^2 + 6a + 9

a^2 + 7a - 5 ≤ 0

D = 49 + 4*5 = 69

a1 = (-7 - √69) / 2 < - 3, не подходит.

a2 = (-7 + √69) / 2 > - 3, подходит.

a € (-oo; (-7+√69) / 2]

3) Подводим итог

(-7+√69) / 2 < 5

Оба неравенства выполняются при

a € (-oo; (-7+√69) / 2]