В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, угол B=60∘. Найдите соотношение AH:HC, где H - точка пересечения серединного перпендикуляра к гипотенузе с катетом AC

Дано: ΔАВС - прямоугольный, ∠С=90°, ∠В=60° ДН⊥АВ, АД=ВД.

Найти АН: СН.

Проведем ВН. Рассмотрим ΔАВН - равнобедренный, т. к. АД=ВД, ДН - высота и медиана. Значит, ВН=АН.

В ΔАВС ∠А=90-60=30°. Значит, ВС=1/2 АВ=АД=ВД

ΔАДН=ΔВДН по трем сторонам, значит ∠ДВН=∠А=30°

Рассмотрим ΔАДН - прямоугольный.

ДН лежит против ∠30°, значит ДН=1/2 АН.

ΔВДН=ΔСВН по двум сторонам и углу между ними

значит ДН=СН

но ДН=1/2 АН, значит и СН=1/2 АН,

отсюда следует, что АН: СН=2:1.

Ответ: 2:1.