Окружность, вписанная в равнобокую трапецию, делит точкой касания боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите площадь трапеции.

Боковая сторона - а, отрезки, на которые её делит окружность - а1 и а2., радиус вписанной окружности - Р, основания - в1 и в2. Достраиваем треугольники, образованные центром окружности, углами трапеции и точками касания, получаем 8 прямоугольных треугольников, из которых два - с катетами Р и а1, два - с катетами Р и а2, два - с катетами Р и в1/2, и два - с катетами Ри в2/2. Из теоремы Пифагора для треугольников с общими гипотенузами (отрезки от центра окружности к вершинам) имеем

Р^2 + а1^2 = Р^2 + в1^2/4

Р^2 + а2^2 = Р^2 + в2^2/4, отсюда

в1 = 2*а1

в2 = 2*а2

Ищем высоту, для этого строим высоту из верхней вершины. Эта высота отсекает на нижнем основании отрезок х.

Поскольку трапеция равнобочная,

х = (в2-в1) / 2 = а2-а1.

Из теоремы Пифагора имеем

Н^2 = (а1 + а2) ^2 - (а2 - а1) ^2 = 4 а1*а2

С = (в1 + в2) * Н/2 = 2 * (а1 + а2) * квкор (а1*а2) (квкор - квадратный корень).

С = 2 * 26 * кв кор (8*18) = 2*26*12 = 624.