Найдите при каком значении параметра p абсцисса вершины параболы y = (x-3p) ^2+p^2-p-6 положительна, а ордината отрицательна

Для начала упростим формулу функции, раскроем скобки, приведем подобные, получим: у=х²-6 рх+10 р²-р-6.

Вычислим координаты вершины параболы, х=-b/2a, y=f (x),

в нашем случае b=-6p, a=1, подставляем в формулу для нахождения абсциссы, имеем: х=6p/2=3p; у (3 р) = (3 р) ²-6 р*3 р+10 р²-р-6=р²-р-6.

Мы нашли координаты вершины параболы х=3 р, у=р²-р-6.

Далее, нам нужно выяснить, при каком значении р, абсцисса вершины положительна, а ордината отрицательна, то есть, нужно решить систему из двух неравенств: 3 р>0 и p²-p-6<0

Решение первого неравенства р>0, второго р∈ (-2; 3). Объединяем эти два решения, получаем р∈ (0; 3)

Ответ: р∈ (0; 3).