задание С6. решите уравнение в натуральных числах

x+y=x^2-xy+y^2

Нужно решение

Будем считать, что x≥y. Заметим, что x²-xy+y²≥xy для любых натуральных x, y.

x+y=x²-xy+y²≥xy ⇒ x+y≥xy. Так как x+y≤2x, 2x≥xy, откуда y≤2.

То есть, возможны всего два случая: y=1, y=2.

Подставив y=1 в исходное уравнение, имеем x+1=x²-x+1, откуда x²-2x=0, x=0, x=2, значит, пара (2; 1) решение. Заметим, что пара (1; 2) тогда тоже будет решением - в исходном уравнении значения x и y можно поменять местами, не нарушая равенство (иначе пришлось бы рассматривать два случая - x≥y и x
Подставив y=2, имеем x+2=x²-2x+4 ⇒ x²-3x+2=0 ⇒ (x-1) (x-2) = 0. Решение x=1, y=2 уже было учтено ранее, кроме этого, есть ещё одно решение: x=2, y=2. Других вариантов нет.

Ответ: (x=2, y=1), (x=1, y=2), (x=2, y=2).