На клетчатой бумаге нарисован многоугольник с периметром 2014, стороны которого проходят по линиям сетки. Какую наибольшую площадь он может иметь?

В общем случае периметр равен P. Тогда одна сторона равна х, а вторая (P/2 - х)

Тогда площадь равна S (x) = x * (P/2 - x)

Производная равна 2 х - P/2. Она равна нулю при Р/4. Т. е. одна сторона равна P/4, а это автоматически означает, что вторая тоже равна Р/4.

Т. е. максимум будет при равенстве сторон, если полупериметр - четное число, в случае с нечетным полупериметром стороны должны отличаться на 1 и быть максимально близки к P/4.