В каждой клетке квадрата 3*3 3 * 3 был написан ноль. За ход можно выбрать квадрат 2*2 2 * 2 и прибавить по единице к четырем числа в нем. После нескольких таких операций оказалось, что центральное число в квадрате равно 39. Чему равна сумма всех девяти чисел в квадрате 3*3 3 * 3?

Заметим, что при выборе любого квадрата 2*2 в любом случае участвует центральная клетка. Значит, количество раз, когда квадрат 2*2 выбирается, должно в точности быть равным числу в середине квадрата 3*3.

Всего возможно 4 выбора квадрата 2*2:

1) примыкает к левому верхнему углу квадрата 3*3

2) примыкает к правому верхнему углу квадрата 3*3

3) примыкает к левому нижнему углу квадрата 3*3

4) примыкает к правому нижнему углу квадрата 3*3

При этом если выбран какой-то квадрат 2*2, то под ним находится ровно 1 угол квадрата 3*3. То есть остальные 3 угла не контактируют с квадратом 2*2. Это значит, что число в углу квадрата 3*3 должно характеризовать количество раз, когда был выбран квадрат 2*2, который накладывается на этот угол.

Например, выбрали квадрат 2*2, который примыкает к левому верхнему углу. Левый нижний, правый нижний и правый верхний углы при этом не изменяются.

Значит, суммарное количество раз, когда выбирается квадрат 2*2, равно сумме чисел по углам квадрата 3*3.

4+5+6+7=22. Но ранее было сказано, что количество квадратов 2*2 равно числу в середине квадрата 3*3, то есть 18. 22 ≠18 - противоречие. Значит, такого квадрата 3*3 достичь невозможно.