Определить глубину колодца, если за его рытье уплачено 238 тыс. рублей, причем за каждый метр глубины платили на 2 тыс. рублей больше, чем за предыдущий, а за работу на последнем метре заплатили 30 тыс. рублей.

Надо решить через арифметическую прогрессию

Ар пр

a (n) = 30000

d=2000

S (n) = 238000

a (1) - ?

n - ?

Решение:

Составим систему уравнений с двумя неизвестными n и a (1) (a (1) для удобства заменим на просто а), получаем:

{a (n) = a (1) + (n-1) d

{S (n) = (2a (1) + (n-1) d) * n / 2

{30000 = a + (n-1) 2000

{238000 = (2a + (n-1) 2000) * n/2

{30000 = a+2000n - 2000

{238000 = (a + (n-1) 1000) * n

{32000 = a+2000n

{238000 = an+1000n²-1000n

{a = 32000-2000n

{238000 = (32000-2000n) n+1000n²-1000n

решаем нижнее уравнение системы:

238000 = 32000n-2000n²+1000n²-1000n

238000 = 31000n - 1000 n² | : 1000

238 = 31n-n²

n²-31n+238 = 0

D=31²-4*238 = 961 - 952 = 9 = 3²

n (1) = (31+3) / 2 = 17

n (2) = (31-3) / 2 = 14

возвращаемся к системе и находим а, получаем:

а (2) = 32000 - 2000*14 = 32000-28000 = 4000

а (1) = 32000 - 2000 * 17 = 32000 - 34000 = - 2000 <0 не подходит под ОДЗ (сумма оплаты должна быть положительная)

Получаем а = а (1) прогрессии = 4000

n = 14 = > 14 - тый метр был последним

Ответ: глубина колодца 14 м

Сумма членов прогрессии с первого по n-ный равна 238000. d прогрессии равно 2000. Последний член прогрессии равен 30000.

S = 238000

d = 2000

a = ? (первый член)

S = (a + (n-1) d + a) / 2 * n, отсюда 238000 = (2a + (n-1) * 2000) / 2 * n = n * (a + (n-1) * 1000).

Выразим последний член: a + (n-1) * 2000 = 30000.

Имеем систему уравнений:

238000 = n * (a + (n-1) * 1000)

a + (n-1) * 2000 = 30000

Решим ее:

a = 30000 - (n-1) * 2000

238000 = n * (30000 - (n-1) * 2000 + (n-1) * 1000)

238000 = 30000n - (n-1) * n*2000 + (n-1) * n*1000

238 = 30n - (n-1) * n*2 + (n-1) * n

238 = 30n - 2n*n + 2n + n*n - n

Имеем квадратное уравнение:

238 = 31n - n*n

n*n - 31n + 238 = 0

D = 9

Решим его:

n1,2 = (31+-3) / 2

n1 = 17

n2 = 14

Найдем, сколько заплатили за первый метр (найдем первый член прогрессии) :

a = 30000 - 13*2000 = 4000

a = 30000 - 16*2000 < 0

Ответ: за первый метр заплатили 4000 рублей, глубина колодца 14 метров.