По данным двум сторонам а и b найти третью, если медианы проведённые к данным сторонам пересекаются под прямым углом

Дано: треугольник АВС, ВС=а, АС=в, АВ=с, АА1 и ВВ1-медианы, АА1 пересекается с ВВ1 под углом 90 град

Найти: с

1) В треугольнике АВС точка О-точка пересечения медиан АА1 и ВВ1.

Известно, что точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому введём обозначения АО=2 х, ОА1=х, ВО=2 у, ОВ1=у

2) По условию, медианы пересекаются под прямым углом, т. е. треугольник АОВ-прямоугольный с прямым углом АОВ,

значит с=АВ=sqrt{ (2x) ^2 + (2y) ^2}=2sqrt{x^2+y^2}

3) Рассмотрим треугольник ВОА1. В нём угол ВОА1=90 град, ВО=2 у, ВА1=а/2, т. к. АА1-медиана треугольника АВС.

Находим х^2 = (OA1) ^2 = (a/2) ^2 - (2y) ^2=a^2/4 + 4y^2

4) Аналогично, из прямоугольного треугольника АОВ1 находим у^2 = (OB1) ^2=

= (b/2) ^2 - (2x) ^2=b^2/4 - 4x^2

5) x^2+y^2=a^2/4 - 4y^2 + b^2/4 - 4x^2

x^2+y^2 = (a^2+b^2) / 4 - 4 (x^2+y^2)

5 (x^2+y^2) = (a^2+b^2) / 4

x^2+y^2 = (a^2+b^2) / 20

6) Итак, находим с:

c=2sqrt{x^2+y^2}=2sqrt{ (a^2+b^2) / 20}=sqrt{ (a^2+b^2) / 5}

Запишем формулу для медианы.

Ma=sqrt (2b^2+2c^2-a^2) / 2

Mb=sqrt (2a^2+2c^2-b^2) / 2

по свойсту медиан и по теореме Пифагора.

(2b^2+2c^2-a^2) / 9 + (2a^2+2c^2-b^2) / 9=c^2

2b^2+2c^2-a^2+2a^2+2c^2-b^2=9c^2

b^2+a^2=5c^2

c^2 = (a^2+b^2) / 5

c=sqrt (a^2+b^2) / 5)