Log2^2 (sinx) + log2 (sinx) / 2cosx+корень 3 = 0

корни уравнения принадлежащие [0; 3Pi/2]

Решим уравнение

(2〖sin〗^2 x-sinx) / (2cosx-√3) = 0

Уравнение имеет решение если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

2〖sin〗^2 x-sinx=0 и 2cosx-√3≠0

Решим второе уравнение

2cosx-√3≠0

Выразим cosx

2cosx≠√3

cosx≠√3/2

Тогда

x≠±π/6+2πl, lϵZ - ОДЗ

Решим первое уравнение

2〖sin〗^2 x-sinx=0

Вынесем общий множитель sinx за скобки

sinx∙ (2sinx-1) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Поэтому распишем произведение на два уравнения

sinx=0 или 2sinx-1=0

Решаем первое уравнение

sinx=0

Получаем

x_1=arcsin⁡0+πn, nϵZ

x_1=0+πn, nϵZ

x_1=πn, nϵZ

Решаем второе уравнение

2sinx-1=0

Выражаем sinx

2sinx=1

sinx=1/2

Наше уравнение имеет два корня x_2 и x_3

x_2=arcsin 1/2+2πk, kϵZ

x_2=π/6+2πk, kϵZ

x_3=π-arcsin 1/2+2πm, mϵZ

x_3=π-π/6+2πm, mϵZ

x_3=6π/6-π/6+2πm, mϵZ

x_3 = (6π-π) / 6+2πm, mϵZ

x_3=5π/6+2πm, mϵZ

Так как из ОДЗ x≠±π/6+2πl, lϵZ, то x_2=π/6+2πk, kϵZ - не подходит.