Найти сумму:

1 / (1+√2) + 1 / (√2+√3) + ... + 1 / (√1970 + √ 1971)

Нужно избавиться от иррациональности в знаменателе каждой дроби, т. е. нужно домножить и числитель и знаменатель на раность тех членов, что стоят в знаенателе. В итоге, в знаменателе каждой дроби будет стоять разность квадратов, а в числителе разность членов:

(1-√2) / (1-2) + (√2+√3) / (2-3) + ... + (√1970-√1971) / (1970-1971).

как видно, знаменатель каждой дроби равен - 1, тогда все числители суммируются, и их сумма делится на общий знаменатель "-1":

(1-√2 + √2+√3 + ... + √1970-√1971) / (-1).

как видно, в числителе все члены кроме первого и последнего сокращаются, в итог имеем:

(1-√1971) / (-1) = √1971-1

ответ:√1971-1