Доказать, что в последовательности 2014,20142014,201420142014, ... нет такого числа, которое является квадратом целого числа

Пример: Условие Доказать, что нет такого числа в последовательности 11, 111, 1111, 11111, ... которое является квадратом целого числа.

Подсказка Найдите последнюю цифру числа, квадрат которого мы ищем. Что можно сказать о предпоследней цифре числа.

Решение 1-ое решение. Если квадрат некоторого числа оканчивается на 1, то само число может оканчиваться на 1 или 9, т. е. число можно записать в виде a=10*n+1 или a=10n+9, если числа указанного вида возвести в квадрат, то предпоследняя цифра будет четной, а последняя цифра данных чисел 1, следовательно, данные числа не являются квадратами. 2-ое решение. Числа, данные в условии, можно записать в виде 11+100n и заметить, что при делении на 4 получим остаток 3. Квадрат четного числа при делении на 4 дает остаток 0, а квадрат нечетного числа при делении на 4 дает остаток 1 (воспользуйтесь формулой возведения в квадрат чисел вида 2n+1), следовательно, числа указанного типа не являются квадратами.