Высшая математика. Предел тригонометрических выражений

Lim 1-cos^2 (3x) / 3tg (x^2). X стремится к нулю в обеих задачах

Lim arctg4x/cos2x*sin6x=2/a Найти а

Раз, высшая математика, значит, правило Лопиталя знаем.

x - > 0 везде опускаем, но подразумеваем.

1. lim (1 - (cos (3x)) ^2) / (3tg (x^2)) = lim (sin (3x)) / (3tg (x^2)) =

(тангенс распишем через sin (x^2) / cos (x^2))

= (1/3) * lim (sin (3x)) ^2 * cos (x^2) / sin (x^2) =

= (1/3) * lim cos (x^2) * lim (sin (3x)) ^2 / sin (x^2) =

(предел косинуса равен 1)

= (1/3) * lim (sin (3x)) ^2 / sin (x^2) =

(используем правило Лопиталя)

= (1/3) * lim [6 cos (3x) sin (3x) ] / [2x cos (x^2) ] =

= lim cos (3x) / cos (x^2) * lim sin (3x) / x = lim sin (3x) / x =

(предел отношения косинусов равен 1, затем правило Лопиталя)

= lim 3 cos (3x) / 1 = 3

ВСЁ

2. lim arctg (4x) / [cos (2x) * sin (6x) ] = lim 1/cos (2x) * lim arctg (4x) / sin (6x) =

(предел косинуса равен 1, затем правило Лопиталя)

= lim arctg (4x) / sin (6x) = lim [4 / (16x^2 + 1) ]/[6 cos (6x) ] = 4/6 = 2/3

Отсюда a = 3

Правило Лопиталя: предел отношений функций равен пределу отношения их производных. Т. е. надо взять производные числителя и знаменателя. Используется при раскрытии неопределённости 0/0, как в наших случаях.