Периметр выпуклого многоугольника, описанного около окружности радиуса 10 см, равен 72 см. Найдите площадь этого многоугольника

Существует формула вычисления радиуса вписанной в многоугольник окружности, которая выглядит так:

r=S/p, где

S - площадь многоугольника, а p - полупериметр многоугольника, который в нашем случае равен

p=72:2=36 см

Подставляем в формулу и находим площадь

10=S/36

S=10*36=360 см².

Формулу отыскания площади многоугольника можно вывести простым логическим рассуждением:

пусть r - радиус вписанной окружности, а₁, а₂, а₃ ... а (n) - стороны многоугольника, которые также являются касательными к окружности, т. е. радиус перпендикулярен стороне многоугольника. Соединим центр окружности и вершины многоугольника, получим n треугольников, площадь каждого из которых s₁ = (1/2) * a₁*r

s₂ = (1/2) * a₂*r

...

s (n) = (1/2) * a (n) * r

Площадь многоугольника равна сумме площадей полученных треугольников

S=s₁+s₂ + ... + s (n) = (1/2) * a₁*r + (1/2) * a₂*r + ... + (1/2) * a (n) * r = (1/2) * r * (a₁+a₂ + ... + a (n))

a₁+a₂ + ... + a (n) и есть периметр многоугольника, поэтому можно записать

S = (1/2) * r*P=r*p