На плоскости даны окружность ω, точка A, лежащая внутри ω, и точка B, отличная от A.

Рассматриваются всевозможные треугольники BXY, такие что точки X и Y лежат на ω и хорда XY проходит через точку A.

Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников BXY, лежат на одной прямой.

На плоскости даны окружность ω, точка A, лежащая внутри ω, и точка B, отличная от A.

Рассматриваются всевозможные треугольники BXY, такие что точки X и Y лежат на ω и хорда XY проходит через точку A.

Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников BXY, лежат на одной прямой.

Решение:

По теореме о произведении отрезков хорд произведение XA • AY не зависит от положения хорды XY и равно некоторой постоянной величине d.

На продолжении отрезка BA за точку A отложим отрезок AC длины.

Тогда AB • AC = XA • AY = d, следовательно точки X, B, Y и C лежат на одной окружности.

Это означает, что окружности, описанные около треугольников BXY, проходят через фиксированные точки B и C,

следовательно их центры лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BC.

Задача 2. В пространстве даны n точек общего положения

(никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости,).

Через каждые три из них проведена плоскость.

Докажите, что какие бы n - 3 точки в пространстве ни взять,

найдётся плоскость из проведённых, не содержащая ни одной из этих n - 3 точек.

Решение:

Пусть X - произвольное множество из n - 3 точек.

Очевидно, что в нашем множестве M есть точка x, не принадлежащая множеству X.

Соединим ее прямыми с остальными точками множества M.

По условию все эти прямые различны, поэтому их ровно n - 1.

Поскольку в множестве X менее n - 1 точки, одна из проведенных прямых не пересекает X.

Через эту прямую и оставшиеся (n - 2) точки множества M проведём (n - 2) плоскости.

Так как этих плоскостей по-прежнему больше, чем точек во множестве X, одна из них не пересекает X.

Эта плоскость и является искомой.

Задача 3. Существуют ли 10 различных целых чисел таких, что все суммы, составленные из 9 из них - точные квадраты?

Решение:

Ответ: Да. Обозначим искомые числа и их сумму соответственно через x1, ..., x10 и S. Тогда

Следовательно,. Пусть nk = 3k (k = 1, ...,10).

Тогда сумма квадратов делится на 9. Ясно, что числа удовлетворяют требованиям задачи.

Задача 4. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C1, B1 и A1 соответственно.

Пусть K - точка на окружности, диаметрально противоположная точке C1, D - точка пересечения прямых B1C1 и A1K.

Докажите, что CD = CB1.

Решение:

Заметим, что CA1 = CB1 (как касательные, проведенные к вписанной окружности из одной точки).

Пусть окружность с центром в точке C и радиуса CA1 = CB1 пересекает прямую A1K в точке D1.

Мы должны доказать, что точки D и D1 совпадают, т. е. что точки D1, B1 и C1 лежат на одной прямой.

Прямая KA1 перпендикулярна A1C1 и, следовательно, параллельна биссектрисе BO.

Поэтому.

Угол C при вершине равнобедренного треугольника A1CD1 равен 180 - 2 • ∠ OBA1 = ∠ A + ∠ C,

следовательно, ∠ B1CD1 = ∠ A. В равнобедренных треугольниках D1CB1 и B1AC1 углы при вершинах равны.

Поэтому равны и углы при основаниях: ∠ D1B1C = ∠ C1B1A.

Это и значит, что точки D1, B1, C1 лежат на одной прямой.