Задание. Пусть k - количество трёхзначных чисел, у которых средняя цифра меньше крайних, а n - количество трёхзначных чисел, у которых средняя цифра больше крайних. Чему равна разность k-m?

Попробуем угадать ответ, рассматривая конкретные варианты для средней цифры.

средняя цифра 0:

k: на первом месте стоит 1, 2, 3, ..., 9; на третьем так же. Вариантов 9 * 9 = 81

m: таких чисел нет.

средняя цифра 1:

k: на первом месте стоит 2, 3, ..., 9; на третьем так же. Вариантов 8 * 8 = 64.

m: таких чисел нет.

средняя цифра 2:

k: (аналогично: 3, 4, ..., 9). Вариантов 7 * 7 = 49.

m: первая цифра 1, вторая 0 или 1 - вариантов 1 * 2 = 2

средняя цифра 3:

k: (аналогично) 36

m: первая цифра 1, 2; третья цифра 0, 1, 2. Вариантов 2 * 3 = 6.

Уже понятная закономерность. Запишем в общем виде.

Пусть средняя цифра равна i. Тогда:

- чисел, у которых средняя цифра меньше крайних: (9 - i) ^2 - есть по (9 - i) вариантов для каждой крайней цифры, цифры выбираются независимо.

- чисел, у которых средняя цифра больше крайних: (i - 1) * i (для первой цифры варианты 1, 2, 3, ..., i - 1. Для третьей цифры те же, но только добавляется ноль) [Вообще говоря, надо писать не (i - 1), а max ((i - 1), 0) - количество не может быть отрицательным. Однако формула так устроена, что даже в случае i = 0 получается верный результат]

k = 9^2 + 8^2 + ... + 0^2

m = (0 - 1) * 0 + (1 - 1) * 1 + (2 - 1) * 2 + ... + (9 - 1) * 9 = (9^2 + 8^2 + ... + 0^2) - (0 + 1 + 2 + ... + 9) = k - 45

k - m = 45