В треугольнике ABC сторона AC=30, медианы AM и CN соответственно равны 39 и 42. Найдите площадь АВС.

Пусть точка пересечения медиан - это точка Д.

В этой точке медианы делятся в отношении 2:1 считая от вершины.

АД = 39 * (2/3) = 26, ДМ = 39/3 = 13.

СД = 42 * (2/3) = 28, ДN = 42/3 = 14.

В треугольнике АДС по теореме косинусов определяем косинус угла АДС:

cos ADC = (26² + 28² - 30²) / (2*26*28) = 560/1456 = 5/13.

Косинусы смежных углов ADN и СДМ равны - cos АДС = - 5/13.

По теореме косинусов находим отрезки АN и СМ как стороны треугольников АДN и СДМ.

СМ = √ (28² + 13² - 2*28*13 * (-5/13)) = √1233 = 3√137.

AN = √ (26² + 14² - 2*26*14 * (-5/13)) = √1152 = 24√2.

Стороны АВ и ВС в 2 раза больше найденных отрезков.

АВ = 2*24√2 = 48√2.

ВС = 2*3√137 = 6√137.

Теперь имеем длины всех сторон треугольника АВС и по формуле Герона находим его площадь.

S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c)). Полупериметр р = 84,055225.

Подставив значения р и длин сторон, находим:

S = 1008 кв. ед.