Многогранник описан около сферы.

Назовём его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань.

Докажите, что больших граней не больше 6.

Пусть R - радиус шара.

Сопоставим каждой большой грани часть граничной сферы шара, расположенную в конусе, вершиной которого служит центр шара, а основанием - проекция шара на эту грань.

Указанная часть сферы является "сферической шапочкой" (то есть частью сферы, лежащей по одну сторону от секущей сферу плоскости) высоты.

По известной формуле площадь такой "шапочки" равна.

Так как указанные "шапочки" не перекрываются, сумма их площадей не превосходит площади сферы.

Обозначив количество больших граней через n, получим, то есть.

Решение заканчивается проверкой того, что.

Примечание. Легко видеть, что у куба шесть больших граней.

Поэтому приведенная в задаче оценка числа больших граней является точной.