В правильный шестиугольник со стороной 10 см вписана окружность. Найдите: а) радиус вписанной окружности. б) сторону квадрата, вписанного в эту окружность. Важно подробно описать решение, а не просто дать ответ.

Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников.

Высота одного из этих треугольников будет являться радиусом вписанной окружности.

Рассмотрим любой из треугольников: (обозначим его ABC)

Все стороны в треугольнике по 10 см. (сторона шестиугольника является основанием треугольника, а он равносторонний).

Проведем высоту BH (высота проведенная к любой стороне в равностороннем треугольнике является биссектрисой и медианой).

AH=HC = 5 см.

По теореме Пифагора найдем высоту:

BH=√ (BC²-HC²)

BH=√75 = 5√3 - радиус вписанной окружности.

б) Диаметр окружности - диагональ квадрата.

d=a√2, где a - сторона квадрата, d - диагональ.

a=10√3/√2

a=√2*√150 / √2

a=√150 = 5√6