На эллипсе x^2/25+y^2/9=1 найти точку, разность фокальных радиусов-векторов которой равна 6,4

^ - степень

Надо найти точку M (x, y)

В решении эксцентриситет не нужен.

Помогите составить систему уравнений

Да, сами радиус-векторы можно найти без эксцентриситета.

По свойству эллипса r₁ + r₂ = 2a.

Данный эллипс имеет полуоси:

а = √25 = 5,

в = √9 = 3.

Составим систему из двух уравнений и решим её сложением:

r₁ + r₂ = 2*5 = 10

r₁ - r₂ = 6,4

2r₁ = 16,4 r₁ = 16,4 / 2 = 8,2 r₂ = 10 - 8,2 = 1,8.

Находим координаты фокусов:

F₁.₂ = + - √ (a²-b²) = + - √ (5²-3²) = + - 4.

Нахождение координат искомой точки М можно решить тремя способами:

1) самый простой с использованием эксцентриситета по формуле:

х = (r₁ - а) / ε.

2) совместным решением уравнений двух окружностей с радиусами r₁ и r₂ с центрами в F₁ и F₂.

3) решением треугольника F₁М F₂., нахождением угла α = МF₁F₂, тогда координаты точки М: Хм = r₁ * cos α

Ум = r₁ * sin α.