Окружность радиуса 1 вписана в равнобокую трапецию. Найдите площадь этой трапеции, если одно из ее оснований равно 1.

Решение:

Sтрап. = (a+b) * h/2

где а и b - нижнее и верхнее основание трапеции

h - высота трапеции

У равнобокой трапеции в которую вписана окружность высота является диаметром окружности, следовательно:

h=2*R=2*1=2

Кроме того высота равнобокой трапеции в которую вписана окружность равна средне-геометрическому её оснований, или:

h=√ (a*b)

a=1

h=2

Отсюда:

2=√ (1*b)

2=√b возведём левую и правую части в квадрат:

2² = (√b) ²

4=b

Подставим известные данные в формулу площади трапеции:

S = (1+4) * 2/2=5

Ответ: S=5

Пусть Х - большая сторона. а - боковая сторона. Высота равна двум радиусам вписанной окружности, т. е. равна 2.

Для описанной трапеции верно: (Х+1) = 2 а (сумма боковых сторон равна сумме оснований)

Кроме того, можно заметить ((Х-1) ^2) / 4+4=а*а (теорема Пифагора для боковой стороны, высоты и проекции боковой стороны на большее основание)

Поэтому

(X-1) ^2+16 = (X+1) ^2

Легко понять, что Х=4. (Разность квадратов 4*х=16)

Площадь трапеции 2 * (Х+1) / 2=5 (полусумма оснований на высоту)

Ответ: 5