Вася играет сам с собой в игру. Вначале он пишет на доске положительное число (не обязательно целое). За один ход он может стереть наименьшее число (одно из наименьших, если их несколько), разбить его на два положительных слагаемых х и у и записать на доску два числа 2; г и 3; у (например, стерев число 3, можно записать '2 и 6, что соответствует х = 1, у = 2). Может ли Вася добиться того, чтобы в тот момент, когда на доске окажутся 2011 чисел, все они были равны единице?

Вася стирает число a=x+y

вместо него он получит два числа 2x и 3y, сумма которых

2x+3y=2x+2y+y=2 (x+y) + y=2a+y>2a (y>0)

то есть делая ход Вася увеличивает сумму уже имеющихся у него чисел на число большее числа которое он стирает

(сумма чисел возрастает на удвоенное число которое Вася стирает плюс еще какоето положительное число)

если он дошел до момента что у него 2010 чисел

1) среди них есть хотя бы не одна единица - число А,

А>1, он стирает одну из 1 так как она меньше числа А

и у него в лучшем случае стает 2009-1+2=2010 единиц, а надо 2011

2) все 2010 полученных чисел 1, тогда он стирает одну из единиц, а сумма всех чисел возрастет больше чем на две единицы (см. выше), и сумма окажется больше 2011=1+1+1 + ... 1 (2011 раз)

3) пусть среди 2010 чисел двое чисел хотя бы меньше 1, тогда стерев одно из них, на следующем ходу у него останется одна не 1

3) (2009 единиц и число 5/6)

пусть среди 2010 чисел только одно из чисел B<1, остальные 2009 чисел - единицы, тогда ему нужно разбить число В на два числа так, чтобы и число "2x" и "3y" (B=x+y)

были равны 1 но тогда число х=1/2 а число y=1/3

значит число В=1/2+1/3=5/6

очевидно, что на предыдущем ходу он получил 1 и число В=5/6

(5/6 меньше 1, и он бы должен был стирать 5/6 если бы оно появилось раньше, а не одну из 1, других чисел у него нет)

на предыдущем ходе

у него было 2008 единиц и какоето число С, из которого он получил 1 и 5/6

так как он стер число С, то оно меньше или равно1

если С=1, то 1=x+y

и 2x=1 3y=5/6 (x=1/2 y=5/18 и тогда x+y не равно 1)

или 3x=1 2y=5/6 (x=1/3 y=5/12 и тогда x+y не равно 1).

если С<1, то x+y=C<1

и 2x=1 3y=5/6 (x=1/2 y=5/18 C=14/18=7/9)

или 3x=1 2y=5/6 (x=1/3 y=5/12 C=9/12=3/4).

1.1. значит у него было 2008 единиц и число 7/9 или

1.2. 2008 единиц и число 3/4

(2006 единиц и число D получает 2007 единиц и число 7/9)

D=x+y<=1

D=1

(2x=1 3y=7/9 x=1/2 y=7/27 x+y не равно 1

2x=7/9 3y=1 x=7/18 y=1/3 x+y не равно1)

D<1

2x=1 3y=7/9 x=1/2 y=7/27 x+y=D=41/54

2x=7/9 3y=1 x=7/18 y=1/3 x+y=D=13/18)

(2006 единиц и число D получает 2007 единиц и число 3/4)

D=1

(2x=1 3y=3/4 x=1/2 y=3/12 x+y не равно 1

2x=3/4 3y=1 x=3/8 y=1/3 x+y не равно1)

D<1

2x=1 3y=3/4 x=1/2 y=1/4 x+y=D=3/4

2x=3/4 3y=1 x=3/8 y=1/3 x+y=D=11/24)

таким образом напрашивается

3/4 стираем

3/4=1/2+1/4

получаем 1=2*1/2 и 3/4=3*1/4

так делаем 2007 раз, (получаем 1 и 3/4 стирая 3/4)

на 2008 раз стираем 3/4

3/4=9/12=4/12+5/12=1/3+5/12

получаем 1=3*1/3 и 5/6=2*5/12

получаем 2009 единиц и число 5/6 (5/6 меньше 1)

5/6=1/2+1/3

1=2*1/2 1=3*1/3

получаем 2011 единиц

ответ: можно