Теорема о свойстве биссектрисы угла (док-во)

Теорема - свойство биссектрисы треугольника.

Если AA1 - биссектриса внутреннего угла A треугольника ABC, то ВА*/А*С = ВА / АС. Иными словами, биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные заключающим

ее сторонам.

Доказательство.

Проведем через B прямую, параллельную AC, и обозначим через D точку пересечения этой прямой с продолжением AA1.

Согласно свойству параллельных прямых имеем ÐBDA = ÐCAD. Так как AA1 - биссектриса, то ÐCAD = ÐDAB. Итак, ÐBDA = ÐDAB, потому BD = BA. Из подобия треугольников CAA1 и BDA1 (по второму признаку

ÐBDA1 = ÐCAA1, ÐBA1 D = ÐCA1A) получаем ВА*/А*С = ВD/АС = ВА/АС, что и требовалось доказать. Заметим, что можно было бы с тем же успехом провести через B прямую, параллельную биссектрисе AA1, до пересечения в точке E с продолжением CA. Тогда EA = AB и СА / АЕ = СА/АВ.