В равнобедренном треугольнике ABC с вершиной B проведена медиана AM к боковой стороне. Найдите квадрат радиуса окружности, описанной около треугольника ABC, если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABM и AMC, равны соответственно 36 и 9.

Пусть O₁ и O₂ - центры окружностей, описанных вокруг AMС и ABM, а r₁=9 и r₂=36 - их радиусы. ∠AO₂O₁=∠ABC как половины центрального угла AO₂M и, аналогично, ∠AO₁O₂=∠ACM как половины центрального угла AO₁M. Значит, треугольники AO₂O₁ и ABC подобны по двум углам. Обозначим через m' и m их соответственные медианы из А. Тогда их коэффициент подобия k=m/m'. Т. к. половина медианы AM является высотой треугольника AO₁O₂, то по теореме синусов его радиус описанной окружности R'=r₂ / (2sinA) = r₂ / (2 * (m/2) / r₁) = r₁r₂/m. Значит, радиус окружности, описанной около ABC равен R=R'k = (r₁r₂/m) * (m/m') = r₁r₂/m'. Достраивая AO₁O₂ до параллелограмма, и пользуясь тем, что в нем сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон, получим 2r₁²+2r₂²=4m'²+r₂², откуда m'=0,5√ (2r₁²+r₂²), т. е. R=2r₁r₂/√ (2r₁²+r₂²) = 9*2*4/√ (2+16) = 12√2. Таким образом, R²=288.