Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4. Средствами векторной алгебры найти:

-площадь грани А1 А2 А3;

-объем пирамиды А1 А2 А3 A4

-длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4.

Координаты вершины

А1 (3, 6, 1)

А2 (6, 1, 4)

А3 (3, - 6, 10)

А4 (7, 5, 4)

Координаты векторов А1 А2 (6-3; 1-6; 4-1;) = (3; - 5; 3)

А1 А3 (0; - 12; 9)

А1 А4 (4; - 1; 3;)

S (A1A2A3) = (l A1A2l*l A1A3l*sinα) / 2, где α - угол между векторами А1 А2 и А1 А3, модуль вектора а = √ (х²+y²+z²), т е

l A1A2l = √ (9+25+9) = √ (43), lA1A3l=√ (144+81) = √ (225) = 15,

если α - угол между векторами а и в, то cosα = (x1x2+y1y2+z1z2) / (lal*lbl),

cosα = (0+60+27) / (15√ (43) = 87 / (15√ (43) = 29 / (5√ (43),

sinα = √ (1-cos²α) = √ (1-29² / (25*43)) = √ ((25*43-29²) / (25*43)) = √ ((1075-841) / (25*43) = √ ((234) / (25*43) = (√ (2*3*39)) / 5√ (43),

S (A1A2A3) = (lA1A2l*lA1A3l*sinα) / 2 = (15*√ (43) * √ (2*3*39)) / (2*5√ (43)) =

(3*√ (2*3*39)) / 2 = 9√ (6,5),

V (A1A2A3A4) = + - (1/6) * (определитель из строк (3; -5; 3) ; (0; - 12; 9) ;

(4; - 1; 3)) = + - (1/6) (9 * (-12) - 5*9*4+0 + 12² + 9*3 - 0) = + - (9/6) (-12-20+16+3)

= + - (3/2) * (-13) = 39/2, V (A1A2A3A4) = (1/3) * S (A1A2A3) * H, H = (3*V (пир) / S (осн) = (3*39/2) / ((9√ (6,5)) = √ (6,5),

Ответ: S (A1A2A3) = 9√ (6,5)

V (A1A2A3A4) = 39/2

H=√ (6,5)