Каким свойством должен обладать равнобедренный треугольник, чтобы вписанная в него окружность касалась средней лини?

Основание треугольника, средняя линия, половины боковых сторон, прилегающие к основанию (не к вершине) образуют равнобокую трапецию

суммы длин противоположных сторон трапеции равны

если а - боковая сторона треугольника, а/2 - боковая сторона трапеции, b - нижнее основание треугольника (и трапеции) b/2 - средняя линия треугольника (верхнее основание трапеции), то а/2+а/2=b+b/2

значит 4a=3b - соотношение, связывающее длины боковых сторон (а) и длину основания (b) такого треугольника

можно еще и угол у основания найти

cos (alpha) = (b/2) / a=2/3

Пусть основание равнобедренного треугольника равно х-нижнее основание трапеции, тогда средняя линия треугольника равна 0,5 х-верхнее основание трапеции. Окружность вписана как в треугольник, так и в трапецию⇒

Сумма боковых сторон равна х+0,5 х=1,5 х⇒боковая сторона трапеции равна 0,75 х, а боковая сторона треугольника равна 1,5 х

Значит, чтобы вписанная окружность касалась средней линии необходимо, чтобы боковые стороны равнобедренного треугольника были в 1,5 раза больше основания.