2 окружности пересекаются в точках P и Q. Через точки P и Q проведены прямые, перескающие одну из окружностей в точках А и С, а другую в точках В и D. Докажите, что прямые АС и BD параллельны

На самом деле простая задача! Когда мы проводим прямые через точки P, Q мы сознательно пересекаем одну из окружностей, а другую нет. Однако, если подумать, то станет ясно, что пересекающая прямая будет касательной к "непересекаемой" окружности. Иначе быть не может, потому что P, Q - точки пересечения этих окружностей.

Проведем АС и ВД. точки А и Д - точки касания

Т. к. эти прямые касательные к разым окружностям, то отрезок АА1 к другой прямой будет перпендикуляром. И соответственно ВД параллельно АС.