Точки A (-5; -4) B (-1; -1) C (-4; 3). Являются вершинами треугольника ABC.

1) Доказать что треугольник ABC равнобедренный.

2) составить ур-е окружности с центром в точке B и проходящий через точку C

1) Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.

Найдем чему равны стороны треугольника, используя формула для вычисления расстояния между точками:

АВ^2 = (-1 - (-5)) ^2 + (-1 - (-4)) ^2 = (-1+5) ^2 + (-1+4) ^2=

=16+9=25. Откуда АВ=√25=5

ВС^2 = (-4 - (-1)) ^2 + (3 - (-1)) ^2 = (-4+1) ^2 + (3+1) ^2=

=9+16=25. Откуда, ВС=√25=5

АС^2 = (-4 - (-5)) ^2 + (3 - (-4)) ^2 = (-4+5) ^2 + (3+4) ^2=

=1+49=50. Откуда, АС=√50=5√2.

Получили, что АВ=ВС=5, значит треугольник АВС - равнобедренный.

Что и требовалось доказать.

2) Уравнение окружности с центром в точке (х0, у0) радиуса R имеет вид:

(х-х0) ^2 + (у-у0) ^2=R^2.

По условию задачи точка В (-1,-1) является центром окружности, значит х0=у0=-1.

Т. к. окружность проходит через точку С, то точка С принадлежит этой окружности. Расстояние от центра окружности до любой точки окружности - есть радиус окружности. Т. е. расстояние ВС между точками В и С является радиусом R искомой окружности.

ВС=5 (см. пункт 1), а значит и R=5.

Таким образом, уравнение

(х - (-1)) ^2 + (у - (-1)) ^2=5^2 или

(х+1) ^2 + (у+1) ^2=25 - искомое уравнение окружности.