через сторону АС правильного треугольника АВС проведена плоскость альфа. Угол между высотой ВD треугольника и плоскостью равен 30 градусов. Найти синус угла между прямой АВ и плоскостью альфа.

Углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Из точки В восстановим перпендикуляр к плоскости альфа ВЕ, соединим Е и Д. Отрезок ЕД это проекция ВД на плоскость альфа. По условию треугольник правильный, то есть равносторонний, тогда ВД=а * (корень из3) / 2. Гда а сторона треугольника. По условию угол ЕДВ=30. Отсюда перпендикуляр ЕВ=ВД*sinЕДВ=а * (корень из 3) / 2*1/2=а * (корень из 3) / 4. Отрезок АЕ это проекция АВ на плоскость альфа. Тогда искомый синус равен sinЕАВ=ЕВ/АВ = ((а*корень из3) / 4) : а = (корень из 3) / 4.