Медиана треугольника делит его на два треугольника, периметры которых равны. Докажите, что треугольник равнобедренный

Пусть треугольник ABC, медиана BM

Согласно условия, периметры треугольников ABM и BMC равны.

Требуется доказать, что AB=BC

Доказательство:

1) Запишем равенство периметров треугольников: AB+BM+AM=BM+BC+MC (1)

2) Т. к. BM - медиана, то AM=MC (2)

3) Учитывая равенства (1) и (2), запишем: AB+BM+AM=BM+BC+AM

4) Сокращаем BM и AM в обеих частях равенства, получаем: AB=BC

Таким образом, исходный треугольник равнобедренный!

Медиана делит основание треугольника на две равные части.

В получившихся треугольниках по условию две равные стороны: сама медиана, как общая для обоих, и по половине основания. Поскольку их периметры равны, то и третья сторона - боковая - равна. Исходный треугольник - равнобедренный, что и требовалось доказать.