В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К так, что АК: ВК=1:2, а на стороне ВС взята точка L так, что CL:BL=2:1. Пусть Q-точка пересечения прямых AL и CK. Найти площадь треугольника АВС, зная, что площадь треугольника BQC=1. Ответ 7/4

Отношение площадей треугольников ABC и BQC равно отношению их высот из вершин A и Q (основание ВС общее).

Отношение высот равно отношению AL/QL.

Это отношение можно найти двумя способами.

1. Теорема Менелая для треугольника ABL и прямой СК.

AK/KB*BC/CL*LQ/QA=1

1/2*3/2 * LQ/QA=1

LQ/QA=4/3

LQ/AL=4/7

AL/LQ=7/4

S (ABC) = 7/4.

Проводим KN параллельно AL, N - на BC.

AL/KN=AB/KB=3/2

AL=3/2 KN (1)

QL/KN=CL/CN

LN=x, BL/LN=BA/KA=3, BL=3x,

CL/BL=2, CL=6x

CN=CL+LN=7x

QL/KN=6x/7x=6/7

QL=6/7 KN (2)

Разделив (1) на (2)

AL/LQ=7/4

S (ABC) = 7/4.