На прямой MN между точками M и N выбрана точка А и проведены по одну сторону от MN лучи АВ, АС, АD. На луче АВ выбрана точка К и через неё проведена прямая, параллельная MN и пересекающая лучи АС и АD соответсвенно в точках Р иЕ, КР=РА=РЕ. Докажите, что АВ первендикулярна АD.

Решать можно по разному

1. Треугольник АКЕ прямоугольный - только в прямоугольном треугольнике медиана = 1/2 гипотенузы, КР=РЕ = АР, АР - медиана, КЕ - гипотенуза

2. угол САН - внутренний, угол МАС - внешний, АВ и АД - биссектрисы, угол ЕАН=углуАЕР как внутренние разносторонние = углу ЕАС, т. к. треугольник АЕР равнобедренный АР=РЕ,

угол МАК=углуАКР как внутренние разносторонние = углу КАР треугольник АКР равнобедренный КР=АР

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны, угол ВАД=90

3. угол ЕАС=углу ЕАН = х, угол САН = х+х=2 х, угол МАС = 180-2 х, угол МАВ=углуВАС =

= (180-2 х) / 2=90-х, угол ВАД = (90-х) + х = 90