Длины сторон треугольника относятся как m : n : k. Найти отношение площади этого треугольника к площади треугольника, вершины которого находятся в точках пересечения биссектрис со сторонами.

Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилегающим сторонам

S - площадь исходного треугольника, S₁, S₂, S₃ - площади дочерних треугольников, прилегающие к вершинам, S₀ - площадь центрального дочернего треугольника

S₁ = 1/2*mn / (k+n) * nm / (m+k) * sin (A)

S = 1/2*mn*sin (A)

S₁ = S / (k+n) * 1 / (m+k)

Аналогично для других

S₂ = S / (m+k) * 1 / (m+n)

S₃ = S / (m+n) * 1 / (k+n)

---

S₀ = S (1 - 1 / (k+n) * 1 / (m+k) - 1 / (m+k) * 1 / (m+n) - 1 / (m+n) * 1 / (k+n))

S₀ = S (1 - 2 * (k+m+n) / ((k+m) (k+n) (m+n))

Просят обратную величину.

Дроби там сокращаться не хотят вообще, поэтому просто перевернём

S/S₀ = 1 / (1 - 2 * (k+m+n) / ((k+m) (k+n) (m+n))