Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. Из вершины A проведена высота AD. В треугольнике ABD проведена биссектриса BE. Докажите, что AB + AE = BC.

По условию AB=AC, так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, то AD=CD=BC/2.

Из свойств биссектрисы DE/AE = BC / (2AB) или CD/AE = (BC+2AB) / (2AB) откуда AE = BC*AB / (BC+2AB)

AB+AE = AB + (BC*AB) / (BC+2AB) = (2BC*AB+2AB^2) / (BC+2AB)

так как 2AB^2=BC^2 (теорема Пифагора)

AB+AE = (2*BC*AB+BC^2) / (BC+2AB) = BC (2AB+BC) / (2AB+BC) = BC

то есть AB+AE=BC