Даны вершины треугольника А (6,2,4) В (-3,5,-7), С (1,-5,8) Найти косинус угла С

Угол α между вектором a и b (формула) :

cosα = (Xa*Xb+Ya*Yb+Za*Zb) / [√ (Xa²+Ya²+Xa²) * √ (Xb²+Yb²+Zb²) ].

Следовательно, надо найти координаты векторов СА и СВ и по приведенной выше формуле вычислить косинус угла между этими векторами.

Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала ab{х2-х1; y2-y1; z2-z1}.

Вектор СА{6-1; 2 - (-5) ; 4-8} = {5; 7; -4},

Bектор СВ{-3-1; 5 - (-5) ; - 7-8} = {-4; 10; -15}. Тогда

cos (CA^CB) = (5 * (-4) + 7*10 + (-4) * (-15)) / [√ (25+49+16) * √ (16+100+225) ] = 0,6279.


Или по теореме косинусов:

Найдем длины сторон треугольника АВС (модули векторов) АВ, СA и СB, зная их координаты.

Вектор АВ{-9; 3; -11}, вектор СА{5; 7; -4}, вектор СВ{-4; 10; -15}.

|AB|=√ (81+9+121) = √211

|CA|=√ (25+49+16) = √90

|CB|=√ (16+100+225) = √341.

Тогда по теореме косинусов:

Cos (CA^CB) = (90+341-211) / (2*√90*√341) = 220/350,4 ≈ 0,6279.

Ответ тот же, что и в первом случае.