Биссектриса острого угла параллелограмма делит его сторону в отношении 2 : 5, считая от вершины тупого угла, равного 120 градуов. Вычислите площадь параллелограмма, если его периметр равен 54 см2.

Пусть биссектриса делит сторону на отрезки 2 х и 5 х. острый угол параллелограмма равен 60°, поэтому биссектриса образует тр-к с углами 120°, 30° и соответственно 30°, т. е. равнобедренный. Значит другая сторона параллелограмма равна 2 х. Т. к. периметр параллелограмма равен 54, то получим уравнение с одним неизвестным, найдем стороны параллелограмма.

2 (2 х+2 х+5 х) = 54

9 х=27

х=3

Значит стороны параллелограмма равны 6, 6, 21, 21

Найдем площадь параллелограмма. Она равна произведению сторон на синус угла между ними

S=6*21*√3/2=3*21*√3=63√3

Тупой угол 120°

Острый угол

180-120 = 60°

Биссектриса отсекает углы

60/2 = 30°

Синий треугольник равнобедренный, так как угол между длинной стороной параллелограмма и биссектрисой равен

180 - 120 - 30 = 30°

Биссектриса делит длинную сторону в отношении 2 х/5 х

Полная длина длинной стороны

2x + 5x = 7x

Длина боковой стороны параллелограмма 2 х

Периметр параллелограмма

P = 2 * (2x + 7x) = 54 см (Ошибка в условии!)

2 * (2x + 7x) = 54

9x = 27

x = 3 см

Короткая сторона

2x = 2*3 = 6 см

Длинная сторона

7x = 7*3 = 21 см

Угол меж ними 60°

Площадь

S = a*b*sin (β) = 6*21*sin (60°) = 6*21*√3/2 = 3*21*√3 = 63√3 см²