Из точки М к окружности радиуса 10 проведены касательная МА и секущая МВ, проходящая через

центр окружности. Известно, что МВ=3 МА. Найдите расстояние s от точки М до центра окружности, в ответ запишите 2s.

Из точки М к окружности проведены касательная МА и секущая МВ, проходящая через центр окружности О (также секущая пересекает окружность и в точке Н), т. е. МВ=МН+ОН+ОВ=МН+20 (радиусы ОН=ОВ=10). Известно, что МВ=3 МА. Нужно найти расстояние s=МО=МН+НО=MH+10. Согласно теореме о касательной и секущей: если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной, т. е. МА²=МН*МВ = (МВ-20) МВ=МВ²-20 МВ=9 МА²-20*3 МА=9 МА²-60 МА. Из уравнения МА²=9 МА²-60 МА найдем МА=7,5. Тогда МВ=3*7,5=22,5; МН=22,5-20=2,5. Теперь находим МО=2,5+10=12,5. В ответ запишем 2*12,5=25.