В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты СМ и AN. Известно, что AC=2, а площадь круга, описанного около треугольника MBN, равна. Найдите угол между высотой CM и стороной ВС

Пусть Д - ‍ точка пересечения высот СМ и АN ΔABC.‍ Из точек М и N отрезок BД виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BД (это и есть окружность, описанная около ΔМВN с радиусом R).

Площадь окружности S=πR², откуда R²=S/π=π/3π=1/3

R=1/√3.

Отрезок AС‍ виден из точек М‍ и N‍ под прямым углом, значит точки М‍ и N‍ лежат на окружности с диаметром AС.‍ По условию
Тогда
Значит ΔCBА и ΔMBN подобны по 2 углам, тогда МВ/СВ=ВN/ВА=МN/АС.

Из прямоугольного ΔВА‍N найдем ВN/ВА=cos B.

МN/АС=cos B

MN=2cos B.

Также по теореме синусов MN=2R*sin B=2sin B/√3

Приравниваем 2cos B=2sin B/√3

sin B/cos B=√3

tg B=√3


Значит <ВСМ=180-90-60=30°

Ответ: 30°