На прямой x-y-6=0 найти точки, расстояние от которых до центра окружности x2-6x+y2+8y+10=0 равно расстоянию между центром этой окружности и началом координат

Для начало найдем центры окружности, для этого приведем к каноническому ввиду

x^2-6x+y^2+8y+10=0

x^2-6x+9+y^2+8y+16-15=0

(x-3) ^2 + (y+4) ^2=15

то есть центры равны O (3; -4) и радиус равен √15, длина от центра до начало координат равна по теореме пифагора

√3^2 + (-4) ^2 = 5

теперь пусть искомые точки равны x и у тогда

{ (x-3) ^2 + (y+4) ^2=25

{x-y-6=0

решим систему

x=6+y

(6+y-3) ^2 + (y+4) ^2=25

y^2+6y+9+y^2+8y+16=25

2y^2+14y=0

y=0

y=-7

x=-1

x=6

То есть точки

y=0

y=-7

x=-1

x=6