Доказать, что если квадраты стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию, то треугольник, сторонами которого служат медианы данного, подобен данному треугольнику.

Пусть стороны треугольника a, с, b тогда по характеристическому свойству:

a^2+b^2=2c^2 выразим так же:

По формулам медиан:

4m1^2=2a^2+2b^2-c^2

4m2^2=2a^2+2c^2-b^2

4m3^2=2b^2+2c^2-a^2

1) 4m1^2=3c^2 m1/c=√3/2

2) поделим в нашем уравнении каждое слагаемое на a^2

1+b^2/a^2=2c^2/a^2 2c^2/a^2-b^2/a^2=1

и во 2 уравнении

4m2^2/a^2=2+2c^2/a^2-b^2/a^2=3

m2/a=√3/2

3) Поделим в нашем уравнении на b^2

a^2/b^2+1=2c^2/b^2 2c^2/b^2-a^2/b^2=1

И в 3 уравнении

4m3^2/b^2=2+2c^2/b^2-a^2/b^2=3

m3/b=√3/2

Откуда: m1/c=m2/a=m3/b=√3/2

А значит эти треугольники подобны по 3 пропорциональным сторонам.

ЧТД