Внутри равнобедренного треугольника BCD с основанием BD взята точка А, так, что AB=AD.

а] Докажите, что угол ACB равен углу ACD.

б] Проведите медиану AK треугольника BAD. Лежат ли точки С, A и К на одной прямой. Ответ поясните.

Так как A внутри BCD, AB=AD, то BAD - тоже равнобедренный треугольник, и у него общее с BCD основание BD. Поставим точку K так, что BK=KD, тогда KC - медиана BCD, KA - медиана BAD.

Докажем второй пункт. Как известно, высота равнобедренного треугольника совпадает с его медианой и биссектрисой и является его осью симметрии. Также, любые два равнобедренных треугольника, построенные на одном основании, обладают общей осью симметрии и, как следствие, общей высотой/медианой/биссектрисой. Тогда получаем, что KA ⊂KC и все три точки лежат на KC.

Это автоматически доказывает первый пункт, т. к. непонятные ∠ACB и ∠ACD превращаются в углы при биссектрисе ∠KCB=∠KCD, которые равны между собой.