Сторона ромба 6√3 см а острый угол равен 60°. Найти длину диагонали ромба и радиус окружности вписанной в ромб

Рассмотрим треугольники на которые ромб делится диагоналями.

Против угла в 30° катет равный половине стороны. Диагональ в 2 раза длинее.

d=6√3 см, второй катет D/2=√ (6√3) ² - (3√3) ² = √108-27=√81=9 cм

D = 18 cм

Для определения радиуса вписанной окружности найдем высоту маленького треугольника через его площадь

s = √p (p-a) (р-b) (p-c), где р - полупериметр p = (9+3√3+6√3) / 2 = 4,5+4,5√3

s=√ (4,5+4,5√3) (4,5+4,5√3-3√3) (4,5+4,5√3-6√3) (4,5+4,5√3-9) = √ (4,5+4,5√3) (4,5+1,5√3) (4,5-1,5√3) (-4,5+4,5√3) = √ (60,75-20,25) (20,25-6,75) = √40,5*13,5 = √546,75

R = s/a = √546,75 / (6√3) = 13,5/6 = 2,25 cм

Так как диагональ ромба делит угол пополам то угол, состовляющий часть угла 60 градусов раен 30 градусов. В этом треугольнике гипотенуза равна 6 sqrt (3). А соторона против 30 градусов равна половине гипотенузы то есть 3sqrt (3). Значит диагональ равен 6sqrt (3) (можно было заметить что треугольник с углом 60 градусов равносторонний.). Теперь найдем вторую диагональ D. По теореме пифагора D = корень (108-27) = корень (81) = 9. Значит диагональ равен 18.

По формуле r=D1D2/4a=9*6 корень (3) / 24 корень (3) = 9/4=2,25