Внутри правильного треугольника со стороной 1 помещены две касающиеся друг друга окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника (каждая сторона треугольника касается хотя бы одной окружности). Доказать, что сумма радиусов этих окружностей не меньше, чем (√3 - 1) / 2.

В треуг. АВС проведем высоту ВК к основанию АС.

ВК - высота, биссектриса и медиана, делит треуг. АВС на 2 равных прямоугольных треугольника АВК и КВС

В треуг. АВК АВ=1 - гипотенуза

АК=1:2=0,5 - катет

ВК2=АВ2-АК2 - катет

ВК=корень из 1*1-0,5*0,5=0,87

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

r = (р-а) (р-b) (p-c) / p

r=ab / (a+b+c)

r = (a+b-c) / 2

r = (0,5+0,87-1) / 2

r=0,185

2r=0,185*2=0,37

(корень из 3 - 1) / 2 = 0,37

0,37=0,37

Ответ: сумма радиусов не меньше, чем 0,37